Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira parte
Introdução aos Nos. Naturais
A construção dos Nos. Naturais
Igualdade e Desigualdades
Operações com Nos. Naturais
Adição de Números naturais
Propriedades da Adição
Curiosidade: Tabela de adição
Multiplicação de Nos. Naturais
Propriedades da multiplicação
Propriedade Distributiva
Divisão de Números Naturais
Potenciação de Nos. Naturais
Propriedades da Potenciação
Potenciação com o browser
Números grandes
Exercícios
Introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
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Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:
Conjunto N dos números Naturais
Conjunto P dos números Naturais Pares
Conjunto I dos números Naturais Ímpares
Conjunto E dos números Naturais menores que 16
Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição
Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.
Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n1.7 = 7.1 = 7
Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m3.4 = 4.3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m.(p+q) = m.p + m.q6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
n ÷ 0 = q
e isto significaria que:
n = 0 x q = 0
o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:
mn = m . m . m ... m . mm aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 843 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
13 = 1×1×1 = 1
17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:(a) nº = 1
(b) 5º = 1
(c) 49º = 1
A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?
Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:(a) n¹ = n
(b) 5¹ = 5
(c) 64¹ = 64
Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
103 = 1000
108 = 100.000.000
10o = 1
Potenciação com o browser
Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta248832
Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
Números grandes
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.
1 Googol = 10100
Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.
Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.
1 Googolplex = 10Googol
Exercícios
Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.
Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:Olá minhas 100 pombinhas.
Uma delas respondeu:
Não somos 100 não meu caro gavião,
seremos 100, nós, mais dois tantos de nós
e mais você meu caro gavião.
Quantos pombos há neste grupo?
Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?
Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.

Construída por Everton Cirillo e Ulysses Sodré.
Atualizada em 24/mar/2005.